지금까지 루빅스 큐브를 윗줄부터 차례로 맞추면서 대부분의 고민을 아래줄 맞추는 데 써왔다. 이미 맞춘 윗 두 줄을 흐트러뜨리지 않으면서 조각을 제자리에 가져다 놓고 색깔을 맞추는 전략을 썼다. 이 과정에서 공식을 유도하고 이 공식으로 숙달이 되다 보니 나름의 최선의 방법을 적용할 수 있게 되었다.

그러다가 노란면을 특별하게 취급하지 않고 색깔 중립적인 방법으로 맞추는 방법을 시도해 보았다. 이 새로운 전략에서는 앞서 만든 공식 중 13-14번 공식만 써서 맞출 수 있다. 이 두 공식은 거울대칭이므로 사실상 한 가지 공식만으로 맞출 수 있는 것이다. 또 이 공식은 대칭되는 동작이 많이 상쇄되어 왼쪽-X, 오른쪽-X가 두 번 수행되는 것 중 가장 간단한 동작이다.

완전함을 위해서 13번 공식을 말로 풀어 보면 다음과 같다. 아래면을 정면으로 보면서

1. 윗줄을 시계반대방향으로 90도 돌린다.
2. 앞줄을 시계반대방향으로 90도 돌린다.
3. 윗줄을 시계방향으로 90도 돌린다.
4. 앞줄을 시계반대방향으로 90도 돌린다.
5. 윗줄을 시계반대방향으로 90도 돌린다.
6. 앞줄을 180도 돌린다.
7. 윗줄을 시계방향으로 90도 돌린다.
8. 앞줄을 180도 돌린다.

그러면 정면 윗 두 줄에 있는 세 모서리 조각이 색깔이 바뀌지 않으면서 시계반대방향으로 순환한다. 그리고 상단 코너 조각 두 개와 우하단 코너 조각이 시계반대방향으로 1/3만큼 제자리 회전한다.

우연히 누군가 13-14번 공식을 발견하였다면 그는 루빅스 큐브를 푸는 방법을 터득한 거나 다름없다. 그래서 조금 공간 지각 능력이 뛰어난 사람이라면 루빅스 큐브를 그냥 풀 수도 있겠다는 생각이 든다.

내가 이번에 만든 전략은 다음과 같다.

1. 모든 코너 조각을 제자리로 옮긴다.
2. 13-14번 공식으로 모든 모서리 조각을 제자리로 옮긴다.
3. 13-14번 공식을 조합해서 모서리 조각 색깔을 맞춘다.
4. 13-14번 공식을 조합해서 코너 조각을 제자리 회전시켜 코너 조각 색깔을 맞춘다.

모든 코너 조각을 제자리로 옮기기

코너 조각은 총 8 개이다. 머리가 좋으면 코너 조각 모두를 파악하고 몇 번의 돌리기로 맞출 수도 있겠지만 나 같은 보통사람은 하나씩 맞추는 것이 정신 건강에 좋을 것이다. 전처럼 반드시 색깔에 위아래를 둘 필요는 없지만, 위아래를 두는 것이 판단하는 데 도움이 되므로 흰색을 위, 노란색을 아래라고 하자.

색깔을 맞출 필요없이 먼저 흰색이 포함된 코너 조각 세 개를 제자리로 옮기자. 이건 누구나 다 할 수 있을 것이다. 그 다음, 아래줄에 있는 나머지 흰색 코너 조각을 제자리로 옮겼을 때 노란색 코너 조각이 제자리로 가게 되려면 다음의 조건을 만족해야 한다.

1. 윗줄에 있는 노란색 코너 조각과 아래줄 흰색 코너 조각의 인접 코너 조각 중 하나가 대각선 대응 코너 조각이어야 한다. 예를 들면, 노랑, 빨강, 파랑 조각과 노랑, 주황, 초록 조각이다.
2. 1번에서 말한 아래줄 코너 조각과 그 인접 코너 조각은 맞춰졌을 때의 인접 코너 조각이어야 하지만 순서가 뒤바뀌어진 상태여야 한다. 즉 둘 중 하나를 제자리로 맞췄을 때 다른 하나는 제자리에서 대각선 대응 코너에 와야 한다.

이 조건을 만족할 때 아래줄 흰색 코너 조각을 맞출 위치 바로 아래에 둔 상태에서 조건에서 말한 노란색 인접 코너 조각 방향으로 옆면을 회전시켜서 흰색 코너 조각을 제자리에 가게 하면 노란색이 순서대로 정렬이 되고 아래면을 적절하게 회전시키면 노란색 코너 조각이 제자리에 가게 된다.

만약 이 조건이 만족되지 않는다면 다른 노란색 코너 조각을 위로 올리고 앞의 과정을 하면 된다. 그러나 머리 아프게 이렇게 하지 않고 그냥 흰색 코너 조각을 맞춘 후에 노란색 코너 조각들을 맞추는 방법이 있다. 흰색 코너 조각을 모두 제자리에 보낸 후에 노란색 코너 조각을 하나 제자리에 맞춰 보면 다음의 세 가지의 경우가 있다.

1. 코너 조각이 모두 제자리에 가 있는 경우
2. 대각선 대응 코너 조각 두 개만 맞는 경우
3. 인접한 두 개만 맞는 경우
4. 한 개만 맞는 경우

3번과 4번은 정렬 순서상으로는 같은 경우이다. 4번에서 아래면을 한 방향으로 90도 돌려서 안 맞았던 코너 조각을 맞게 만들면 인접한 두 개가 맞게 된다. 인접한 두 개가 맞으면 그 두 개의 코너 조각이 포함된 옆면을 돌려서 흰색 코너 조각 흐트러뜨리고 다시 맞추기를 하면 두 개의 노란색 코너 조각이 서로 자리바꿈을 한다. 앞에서 말한 조건이 만족되지 않을 때 하라고 한 동작을 하는 것이라고 보면 된다.

2번, 대각선 대응 코너 조각이 안 맞았을 경우에는 앞에서 말한 흐트러뜨리고 다시 맞추기를 두 번 해서 해결할 수 있겠지만, 두 코너 조각이 인접하게 옆면 90도 회전시키고 흐트러뜨리고 다시 맞추기를 한 번 한 후에 다시 옆면을 되돌리는 방법도 있다.

이후의 단계에서 동작을 줄이기 위해서 이 단계에서 흰색 모서리 조각을 색깔까지 맞추는 것이 좋다. 그러면 전략 2번 단계에서는 흰색 면을 생각하지 않고 노란색 면을 보면서 모서리 조각들을 움직일 수 있기 때문이다.

모서리 조각 제자리로 옮기기

13-14번 공식이 모서리 조각을 어떻게 순환시키는지 알고 이리저리 옮기다 보면 맞춰진다. 앞 단계에서 흰색 모서리 조각을 맞추었다면 생각보다 많지 않은 횟수로 13-14번 공식을 써서 노란색 모서리 조각을 제자리로 옮길 수 있다.

먼저 아래면에서 노란색이 포함된 모서리 조각을 최대한 제자리로 가게 하자. 그 다음 맞지 않은 아래면 모서리 조각을 제대로된 모서리 조각으로 채우기 위해 아래면을 그 조각이 있는 쪽으로 회전시켜 두고 옆면에 대해 13-14번 공식을 수행한다. 그러면 언젠가는 맞춰진다. 머리를 조금 쓰면 효율적으로 맞출 수 있다.

모서리 조각 색깔 맞추기

이 단계에서는 모서리 조각을 뒤집어서 색깔을 맞춘다. 두 개씩 뒤집을 수 있는데 두 모서리 조각이 인접하도록 적절하게 돌려 놓고 색깔을 뒤집은 뒤에 다시 돌려 놓아야 한다. 예를 들어, 한 면에서 마주보는 두 모서리 조각의 색깔을 뒤집어야 한다면 그 면을 정면으로 보는 상태에서 옆면 90도, 윗면 90도로 돌려서 두 모서리 조각이 인접하도록 만들 수 있다.

인접하는 두 모서리 조각이 포함된 면을 정면으로 볼 때 두 모서리 조각이 위와 오른쪽에 오게 큐브 전체를 돌려 잡자.

1. 13번 공식으로 모서리 조각을 순환시킨다.
2. 1번에서 했던 순환의 반대 방향으로 조각을 순환시키는 동작을 윗면에서 하기 위해 좌우 면을 90도 위로 회전시킨다.
3. 윗면이 정면이 되고 원래 보던 면이 윗면이 되게 큐브를 돌려 잡는다.
4. 13번 공식으로 모서리 조각을 원래 자리로 돌아가게 한다.
5. 2번에서 했던 동작과 같이 해서 옆면이 원래대로 되게 한다.

좀 더 효율적으로 하려면 13번과 14번 공식에서 마지막 8번 동작을 빼고 할 수 있다. 그 동작을 각각 [13], [14]라고 부르자. 그리고 [13’]과 [14’]은 각각 그것의 역행이라고 하자.

1. [13]을 수행한다.
2. 윗면과 아래면을 오른쪽으로 돌린다.
3. 오른쪽 면으로 간다.
4. [14’]를 수행한다.
5. 윗면과 아래면을 왼쪽으로 돌린다.

이 방법에서는 13번 공식에서 7번 동작도 뺄 수 있다. 그리고 위 과정 2번과 5번에서 아래면만 움직이면 된다. 그런데 숙달이 되다보면 빼기가 쉽지 않다.

코너 조각 색깔 맞추기

앞에 썼던 글에서 얘기한 대로 13-14번 공식의 조합으로 해결할 수 있다. 이것을 모른다 할지라도 13-14번 공식이 코너 조각을 어떻게 제자리 회전시키는지 파악하는 것이 어렵지 않으므로 그것을 파악하고 적용하는 것은 쉽다. 13번과 14번은 모서리 조각을 서로 반대로 순환시키므로 13번과 14번을 쌍으로 쓰면 모서리 조각은 불변으로 두고 두 코너 조각만 제자리 회전시킬 수 있다. 이것만 알고도 문제를 해결할 수 있다. 여기서도 두 코너 조각이 인접하지 않으면 인접하도록 큐브 줄을 적절하게 회전시켜서 동작을 수행하면 된다.

이 전략 이전에는 미처 깨닫지 못했는데, 한 면에서 [0 0 1 2]는 다른 면에서 볼 때는 [0 0 2 1]이다. 그리고 [2 0 0 1]은 한 면을 회전시키면 [0 0 2 1]로 만들어서 해결할 수 있다. 앞에 썼던 글에서 고려한 다양한 경우가 넓게 보니까 단순해진 것이다. 이것이 이 전략 연구에서 얻은 가장 큰 수확인 것 같다.

부록: 효율적인 맞추기

이전 전략처럼 윗 두 줄을 색깔까지 다 맞추면 최대 3회의 13-14번 공식으로 조각들을 모두 제자리에 보낼 수 있다. 인접 노란색 코너 조각 두 개가 서로 뒤바뀌어 있는 경우에 흰색 코너 조각 흐트러뜨리고 다시 맞추기를 하면 노란색 모서리 조각 하나가 가운데 줄 모서리로 이동하게 된다. 이러고 나서 13-14번 공식으로 노란색 코너 조각 두 개를 맞추고 옆면에서 2회의 13-14번 공식을 사용하면 조각들이 모두 제자리에 가게 된다.

13-14번 공식을 사용할 때 코너 조각의 상태를 보고 13’이나 14’을 대신 사용하면 코너 조각 색깔 맞추기에서 동작을 줄일 수 있다. 13’은 14번과 모서리 조각 움직이는 것은 같으나 제자리 회전시키는 코너 조각이 다르다.

부록: 더 효율적인 맞추기

이건 두 줄을 다 맞추는 동시에 아래줄 코너 조각도 모두 제자리로 보내는 방법이다. 이 방법도 최대 3회의 13-14번 공식을 써야 조각들을 모두 제자리로 보낼 수 있어서 크게 달라지진 않는데 가운데줄 마지막 모서리 조각을 맞추기 전에 먼저 아래줄 코너 조각을 살펴서 상태에 따라 윗 두 줄을 다 맞추면서 코너 조각도 제자리에 보내기 때문에 윗 줄 코너 조각 흐트러뜨리고 다시 맞추기 1회를 줄이는 효과가 생길 수 있다.

일단 가운데 줄 하나의 모서리 조각을 제외한 윗 두 줄의 조각들을 모두 맞춘다. 안 맞춰진 모서리 위치에는 노란색 모서리 조각이 들어 있어야 한다. 그리고 아래줄 코너 조각들을 살펴보고 제자리에 갔는지 확인한다.

아래줄 코너 조각이 모두 맞을 경우에는 이것이 흐트러지지 않도록 13-14번을 써서 마지막 가운데줄 모서리 조각과 아래줄 모서리 조각을 맞춘다. 안 맞춰진 가운데줄 모서리가 아래면에 오게 하여 13-14번을 써서 맞춘 후에 다시 되돌린다. 이 때 아래면에 올 흰색 코너 조각의 색깔이 뒤집히지 않도록 13-14번과 그 역행을 잘 골라서 사용한다.

대각선 대응 코너 조각 두 개가 안 맞을 경우에는 가운데줄 안 맞춘 모서리 조각이 포함된 옆면을 돌려 그 모서리 조각 위치가 아래면에 오도록 한 후에 아래180-왼쪽-180이나 아래180-오른쪽-180을 수행하는데 그 위치에 들어갈 조각은 맞은 편에 있어야 한다. 가운데줄에 들어갈 조각은 보이는 색깔이 변하지 않고 그 위치에 들어가고 흰색 코너 조각은 변하지 않는다.

인접 코너 조각 두 개가 안 맞을 경우는 가운데줄에 들어갈 모서리 조각의 상대적 위치에 따라 다르게 풀어야 한다.

1. 안 맞는 코너 조각 맞은 편에 가운데줄에 들어갈 모서리 조각이 있는 경우 적절히 아래면을 돌려 놓고 왼쪽-90이나 오른쪽-90을 써서 가운데줄 조각을 맞추고 아래줄 모서리 조각을 맞춘다.
2. 안 맞는 코너 조각 면에 수직인 면에 가운데줄에 들어갈 모서리 조각이 있고 안 맞는 코너 조각 면이 K면(왼쪽-90, 오른쪽-90을 정의할 때 기준이 된 면)에 있고 왼쪽’-90이나 오른쪽’-90을 써서 가운데줄 조각을 색깔이 맞게 넣을 수 있다면 왼쪽’-90이나 오른쪽’-90을 수행한다.
3. 2번에서 색깔이 안 맞을 경우에는 아래줄 코너 조각과 상관없이 가운데줄 조각 색깔만 염두에 두고 왼쪽’-90이나 오른쪽’-90으로 가운데줄 조각을 맞춰 넣는다. 그러면 대각선 대응 코너 조각이 안 맞는 상태로 바뀐다. 이 상태에서 옆면을 90도 돌려서 왼쪽-90이나 오른쪽-90을 한다.
4. 안 맞는 코너 조각 사이에 가운데줄에 들어갈 모서리 조각이 있는 경우에는 3번에서처럼 왼쪽-90이나 오른쪽-90으로 가운데줄 모서리 조각을 맞춰 넣으면 대각선 대응 코너 조각이 안 맞는 상태가 된다. 이후 3번과 같은 방법으로 푼다.

앞 과정을 하는 중간에 모서리 조각을 제자리로 보내기 전에 노란색 십자가를 맞추는 것이 더 효율적일 수 있다. 노란색 모서리 조각이 일 자인 것보다 ㄱ자인 것이 제자리에서 회전한 코너 조각들을 더 생성하지 않기 때문이다. 그래서 코너 조각이 다 맞춰졌다면 ㄱ자일 때 앞에서 설명한 13-14번 조합으로 노란색 십자가를 맞추는 것이 좋다. 이렇게 하면 코너 조각의 회전 상태에 따라 13-14번과 그 역행을 적절하게 쓸 수도 있어서 좋다.

코너 조각이 다 맞춰졌다면 때에 따라 13-14번 조합이 아니라 9-12번을 쓰는 것이 더 좋다. 노란색 모서리 조각이 하나만 자리와 색깔이 맞고 일 자 모양이면 9-10번 써서 모서리조각 색깔도 맞추고 제자리로 보낼 수 있다. ㄱ 자 모양이면 11-12번을 쓸 수 있는데 항상 모서리 조각이 제자리로 보내는 것이 가능한 것은 아니다. 모서리 조각들이 이미 제자리에 있다면 그냥 13-14번 조합으로 하는 것이 효율적일 것이다.

부록: 완전 맞추기는 가능한가?

미리 윗 두 줄이나 한 줄을 맞추지 않고 코너 조각의 위치만 제자리로 보낸 상태에서 13-14번과 그 역행만으로 맞추기를 해 보았다. 이전에도 해 보았지만 이번에는 최소한의 13-14번 동작을 사용하기 위해서 적절히 큐브 줄을 돌려서 한 번에 두 개의 조각을 맞추도록 해 보았다. 이런 방법으로 하면 모서리 조각들이 총 12개이므로 6회의 13-14번 동작이 필요함을 알 수 있다. 그런데 마지막 13-14번 동작에 3개의 조각이 제자리로 가야 하므로 최대 5회의 13-14번 동작만으로 모서리 조각들을 모두 제자리로 보낼 수 있는 것 같다.

모서리 조각들을 제자리로 보내는 동시에 색깔까지 맞추도록 해 보았다. 처음이자 마지막으로 한 시도에서 한 쌍의 모서리 조각을 제외하고 모서리 조각들을 색깔까지 맞출 수 있었다.

이처럼 코너 조각을 제자리에 보내고 줄을 적절히 돌리면서 13-14번 동작을 최대 5회만 사용해서 모서리 조각 뿐만 아니라 코너 조각의 색깔까지 다 맞출 수 있을까? 나는 이것을 완전 맞추기로 이름 붙인다. 이것이 가능한지는 모르겠지만 왠지 가능할 것 같다.