어릴 적에 집에 루빅스 큐브가 있었다. 공식이 있는 줄도 모르고 한 면만 맞추고 더이상 맞출 줄 몰라서 뜯어서 물리적으로 맞추기만 했다. 이젠 공식을 쉽게 얻을 수 있지만 공식 없이 풀고 싶어서 공식을 외우지 않았다. 루빅스 큐브도 없고. 그러다가 얼마 전에 조카의 루빅스 큐브를 보고 루빅스 큐브를 구매하여 공식 없이 풀어 보자 했다. 생각보다 쉽게 맞춰져 버렸다. 이미 다들 공식 없이 루빅스 큐브를 이해하고 그 이해로부터 공식을 만들어서 큐브를 맞추고 있을지도 모른다. 이 글은 그냥 내가 맞췄던 전략을 이야기한다. 이것도 공식이라고 할 수 있을지 모르겠다.

1 위 줄 맞추기

3×3×3 큐브의 맨 위 줄부터 아래로 맞추어 간다. 맨 위 줄은 누구나 좀 생각하면 다 맞출 수 있을 것이다. 물론 위 면을 다 맞추었을 때 위 줄 옆 면의 색깔이 옆면 중앙 조각의 색깔과 같아야 한다. 위 줄만 신경쓰면 되기 때문에 좀 편리한 자리에 조각이 있지 않다면 먼저 흐트러뜨려서 그 조각을 다른 곳으로 보내고 나서 다시 보면 조각이 쉽게 맞출 수 있는 자리에 가 있을 것이다.

맨 위 면 색을 흰색이라고 했을 때, 흰색을 포함한 코너 조각이 아래 줄에 있고 흰색 면이 옆 면에 있을 때 위 줄 코너 조각을 맞추는 방법이 두 가지 있다.

1. 흰색을 포함한 코너 조각을 넣고자 하는 위치 바로 아래에 오게 한 후에 옆 면 줄을 내리고 아래 줄에서 그 조각을 넣고 다시 되돌리는 방법. (옆 면 줄을 돌려서 내린다고 생각하는 대신에 다른 두 줄이 방해되니까 돌려 놓는다고 생각하는 게 편하다. 왜냐하면 옆 면 줄을 돌린다고 생각하면 넣을 조각도 돌아가 버리기 때문에 고차원적 두뇌가 아니면 두뇌에 과부하가 걸리기 때문. 나는 그렇다.)
2. 흰색을 포함한 코너 조각을 넣을 위치 바로 아래가 아닌 아래 줄 코너에 두고 먼저 넣을 위치를 아래로 내리고 흰색을 포함한 코너 조각을 돌려서 넣은 후에 다시 돌아가는 방법. (이렇게 하는 사람이 있는지 모르겠다. 맞춰진 조각을 흐트러뜨리는 방법의 역행이라고 보면 된다. 흰색을 포함한 코너 조각이 처음에 있을 위치는 아래 줄에서 두 군데가 될 수 있다.)

위 줄 코너 조각을 맞추는 방법을 장황하게 이야기하는 이유는 이게 전략의 핵심이기 때문이다. 흐트러뜨리고 다시 맞추기. 흐트러뜨리고 다시 맞추면 원 상태 복원이 아니냐고? 흐트러뜨리는 건 2번의 역행을 따르고 맞추는 건 1번을 따르면 두 방법이 정확히 대칭이 아니기 때문에 위 줄을 제외한 다른 곳에서 차이가 발생한다.

2 흐트러뜨리고 다시 맞추기

1-4의 방법은 앞서 언급한 대로 위 줄 코너 조각을 흐트러뜨리는 방법은 2번의 역행, 다시 맞추는 방법은 1번을 채용한 방법이고, 5-6은 각각 1-4의 역행이며 위 줄 코너 조각을 흐트러뜨리는 건 1번의 역행, 다시 맞추는 건 2번을 채용한 방법이다.

1. 왼쪽-90: K 면을 정면으로 보면서 K 면을 잡고 시계반대방향으로 회전시킨다. 즉, 왼쪽으로 위 면의 흰색 조각이 내려오게 한다. 그리고 아래 줄을 왼쪽으로 90도 회전시킨다. 그리고 회전시켰던 K 면을 복원시킨다. 그럼 그 흰색이 포함된 코너 조각은 아래 줄 왼쪽 뒤 쪽에 위치할 것이다. 이걸 다시 코너 조각 맞추기 1번을 이용해서 다시 맞춘다.
2. 오른쪽-90: 왼쪽-90의 거울 대칭이다. K 면을 정면으로 보면서 K 면을 잡고 시계방향으로 회전시킨다. 그리고 아래 줄을 오른쪽으로 90도 회전시킨다. 그리고 K 면을 복원시킨다. 그리고 다시 코너 조각 맞추기 1번을 이용해서 다시 맞춘다.
3. 왼쪽-180: 왼쪽-90에서 아래 줄을 90도 회전시키는 대신에 180도 회전시킨 것이다. 180도 회전이기 때문에 오른쪽으로 회전시키든, 왼쪽으로 회전시키든 상관없다. (아래 줄을 왼쪽으로 90도 회전하는 대신 오른쪽으로 90도 회전하는 건 왜 없을까? 오른쪽으로 90도 회전시켜서 흐트러뜨리면 코너 조각을 다시 맞추기와 정확히 대칭이 되어서 안 한 것과 같아지기 때문이다.)
4. 오른쪽-180: 오른쪽-90에서 아래 줄을 90도 회전시키는 대신에 180도 회전시킨 것이다.
5. 왼쪽’-90: 왼쪽-90의 역행이다. K 면을 정면으로 보면서 K 면의 왼쪽 면을 잡고 시계방향으로 회전시킨다. 그리고 아래 줄을 왼쪽으로 90도 회전시킨다. 그리고 K 면 왼쪽 면을 복원시키면 흰색이 포함된 조각이 아래 줄, 원래 있던 위치의 바로 아래에 놓이게 된다(코너 조각 맞추기 1번의 역행). 다시 아래 줄을 왼쪽으로 90도 회전시킨다. 그리고 K 면을 시계반대방향으로 회전시키고 아래 줄을 오른쪽으로 90도 회전시킨 다음 K 면을 복원시킨다(코너 조각 맞추기 2번).
6. 오른쪽’-90
7. 왼쪽’-180
8. 오른쪽’-180

이제 이 흐트러뜨리고 다시 맞추기의 영향을 살펴 보자. 위 줄 코너 조각을 흐트러뜨리고 다시 맞추기는 당연히 위 줄에는 영향이 없고 아래로 내리는 쪽에 있는 중간 줄의 모서리 조각만 아래 줄의 모서리 조각 중 하나로 교체하고 중간 줄의 나머지에는 영향을 주지 않는다. 그러므로 위 방법을 이용하여 중간 줄을 쉽게 맞출 수 있다.

직접 왼쪽-90을 해 보면 중간 줄 모서리 조각 하나와 아래 줄 모서리 조각 중 세 조각이 순환 방식으로 자리를 바꾸는 걸 알 수 있다. 즉, A → B → C → D → A이라는 것이다. 그래서 주기가 4이고 왼쪽-90을 4번 하면 모서리 조각은 원 상태가 된다. 하지만 아래 줄 코너 조각 중 세 개도 바뀌는데 이것의 주기는 4가 아니어서 원 상태가 되지 않는다.(정확히는 그 주기가 4의 약수가 아니어서다. 그 주기가 6인 것 같은데 4와 6의 최소공배수인 12번 왼쪽-90을 하면 완전 원 상태가 될 것이다.) 이를 이용해서 다음에 마지막 맞추기를 할 것이다.

3 중간 줄 맞추기

중간 줄을 맞추자. 중간 줄의 모서리 조각 A를 맞추고자 하면 위 순환 고리에서 D가 무엇인지 알아야 한다. 모서리 조각은 두 면에 걸쳐 있다. 옆면 K 면을 정면으로 바라봤을 때 그 모서리 조각이 왼쪽에 있다면 왼쪽-X, 오른쪽에 있다면 오른쪽-X 방법을 쓸 수 있는데 X가 90이면 큐브를 들고 아래 면을 살짝 들추었을 때 아래 뒤쪽에 있는 조각이 A에 들어 온다. 그리고 그 때 눈에 보이는 조각의 면이 K 면에 온다. X가 180이면 K 면 아래 줄 모서리 조각이 A로 들어 오고 눈에 보이는 면이 K 면이 아닌 다른 면에 온다. 왼쪽’-X와 오른쪽’-X도 쓸 수 있는데 머리 아프니 쓰지 말도록 하자.

아직 아래 줄은 맞추지 않았기 때문에 아래 줄은 맘대로 회전시킬 수 있다. 그래서 왼쪽-90 대신에 아래 줄을 180도 회전시켜서 왼쪽-180을 쓸 수도 있다. 끼워 넣을 조각이 눈치 없이 중간 줄에 있다면 왼쪽-X이나 오른쪽-X를 써서 아래 줄로 내리고 맞춘다.

4 아래 줄 맞추기

4.1 중간 줄 모서리 조각 흐트러뜨리고 다시 맞추기

이제 위 줄과 중간 줄이 다 맞춰졌다. 아래 줄을 맞춰야 하는데 여기도 흐트러뜨리고 다시 맞추기를 한다. 여기서 흐트러뜨리는 조각은 중간 줄 모서리 조각이다. 어차피 다시 맞춰질 것이므로 어떤 조각인지는 중요하지 않다. 하지만 아래 줄 조각들을 어떻게 움직여야 하는지 알아야 하므로 면 색깔을 참조하여야 한다.

왼쪽-X와 오른쪽-X와 아래 줄 회전의 조합으로 위 두 줄을 불변으로 유지하는 방법은 굉장히 다양할 것이다. 거기에 왼쪽’-X와 오른쪽’-X까지 더하면 더 많은 방법이 존재한다. 여기서는 단순하게 왼쪽-X, 오른쪽-Y 두 번만 써서 위 두 줄을 불변으로 유지하는 방법들이 아래 줄 조각들을 어떻게 움직이는지 살펴보자.

K 면의 왼쪽 모서리 조각은 그 옆 면 J 면의 오른쪽 모서리 조각이다. K 면의 오른쪽 모서리 조각은 그 옆 면 L 면의 왼쪽 모서리 조각이다. 왼쪽-X, 오른쪽-Y를 두 번만 쓰려면 다음의 경우밖에 없다.

1. K-왼쪽-90-J-오른쪽-90
2. K-오른쪽-90-L-왼쪽-90
3. K-왼쪽-90-아래180-J-오른쪽-180
4. K-오른쪽-90-아래180-L-왼쪽-180
5. K-왼쪽-180-J-오른쪽-90-아래180
6. K-오른쪽-180-L-왼쪽-90-아래180
7. K-왼쪽-180-아래180-J-오른쪽-180-아래180
8. K-오른쪽-180-아래180-L-왼쪽-180-아래180

이름 맨 앞과 중간에 붙인 J, K, L은 그 면을 정면으로 보고 왼쪽-X와 오른쪽-Y를 수행한다는 뜻이다. 3-4번, 7-8번 중간의 아래180은 아래 줄을 180도 돌린다는 뜻이다. 그래야 원래 조각이 중간 줄에 제대로 들어 가서 중간 줄을 불변으로 만든다. 5-8번의 맨 뒤에 하는 아래180은 K 면 기준으로 생각하기 위해서 돌리는 것으로 반드시 필요하지는 않지만 일관성을 유지할 수 있다. X, Y가 180인 수만큼 아래180이 들어가기 때문이다.

그림을 보면 3-4번과 5-6번은 모서리 조각은 이동하지 않고 두 조각만 제자리에서 색깔만 바꾼다. 1-8번 모두 왼쪽-X로 시작하면 코너 조각 세 개가 시계방향으로 순환하고 오른쪽-X로 시작하면 시계반대방향으로 순환한다. 반면에 모서리 조각의 순환 방향은 1-2번과 7-8번이 다름을 알 수 있다.

4.2 맞추기 전략

아래 줄을 맞추는 방법은 이것들을 막 조합해서 맞추는 방법도 있겠지만 너무 복잡하므로 단계적으로 하는 것이 머리가 덜 아플 것이다. (1) 1-2번이나 7-8번을 이용해서 모서리 조각을 제자리에 가게 한다. (2) 3-6번과 그 역행을 이용해서 아래 면 십자가 색깔을 맞추는 동시에 코너 조각들을 제자리에 보낸다. (3) 앞에서 언급한 왼쪽-90 4번이나 오른쪽-90 4번을 이용해서 코너 조각들을 제자리회전시켜서 마지막 맞추기를 한다.

(2)번 단계는 3-6번의 역행을 이용하지 않고 하려면 굉장히 많은 동작을 해야 할 수 있다. 왜냐하면 모서리 조각의 색깔을 뒤집는 것은 주기가 2인데 코너 조각 순환은 주기가 3이기 때문이다. 따라서 역행을 적절히 이용하자. 예를 들어, 5번인 K-왼쪽-180-J-오른쪽-90-아래180의 역행은 아래180-J-오른쪽’-90-K-왼쪽’-180이다. 왼쪽-180이나 오른쪽-90이 아닌 프라임이 붙은 왼쪽’-180과 오른쪽’-90임을 유의하자. 이는 5번 그림에서 똑같은 모서리 조각의 색깔을 뒤집고 코너 조각은 시계방향이 아닌 시계반대방향으로 순환시킨다. 5번의 변화를 취소하는 것이기 때문이다.

4.3 마지막 맞추기

(3)번 단계의 마지막 맞추기를 설명하기 위해서 위 그림에 나와 있는 코너 조각에 번호를 붙이겠다. 좌하를 1, 좌상을 2, 우상을 3, 우하를 4라고 하겠다. 그리고 각 코너 조각의 회전 상태를 수로 나타낸다. 코너 조각의 꼭지점을 보고 아래 면의 색깔(내 경우에는 노란색)이 아래 면에서 얼마나 벗어나 있는지 수로 나타내는 것이다. 예를 들어, 시계반대방향을 + 방향으로 보고 노란색이 시계반대방향으로 1/3 회전 떨어져 있으면 1, 2/3 회전 떨어져 있으면 2, 노란색이 아래 면에 있으면 0이다. 여기에 수를 더할 텐데 3으로 나눈 나머지만 취한다. 시계방향 1/3 회전은 시계반대방향 2/3 회전과 같다.

왼쪽-90을 4번 수행하면 234가 시계방향으로 1/3만큼 제자리회전을 하고 오른쪽-90을 4번 수행하면 123이 시계반대방향으로 1/3만큼 제자리회전을 한다.

맞추기를 하는 것은 코너 조각의 회전 상태 수가 모두 0이 되게 하는 것이다. 아래에는 위 방법을 통해서 코너 조각 회전 상태 수가 모두 0이 되는 예를 보여 준다.

5 요약

이렇게 해서 루빅스 큐브를 맞출 수 있다. 요약하자면 맨 위 줄은 알아서 맞추고, 중간 줄은 위 줄 코너 조각을 흐트러뜨리고 다시 맞추기를 해 보고 조각들이 어떻게 움직이는지 관찰하여 맞출 수 있고, 아래 줄은 중간 줄 모서리 조각을 맞출 때 쓴 방법의 조합으로 흐트러뜨리고 다시 맞추기를 해 보고 조각이 어떻게 움직이는지 관찰하여 맞출 수 있다.

6 부록: 위 두 줄을 빠르게 맞추기

잘 생각해 보면 위 두 줄의 모서리 조각들은 공식을 몰라도 맞출 수 있다. 그런데 그러는 중 위 줄 코너 조각이 흐트러진다. 코너 조각을 맞추면 중간 줄 모서리 조각이 흐트러진다. 그래서 맨 위 줄을 맞출 때 코너 조각 하나를 남겨 놓고 맞춘다. 그런 후에 중간 줄 모서리 조각을 맞출 때 그 맞추지 않은 코너 조각이 흐트러지도록 위 줄을 돌려 놓고 맞춘다. 중간 줄 모서리 조각이 하나 맞추지 않고 남았을 때 그 맞추지 않은 중간 줄 모서리 조각과 맞추지 않은 코너 조각과 맞출 흰색 코너 조각을 일직선 상에 두고 코너 조각 맞추기 1번을 시전한다. 그리고 위 줄을 적절히 돌리면 중간 줄 모서리 조각 하나만 맞춰지지 않고 남을 것이다. 이 때 왼쪽-X나 오른쪽-X로 이걸 맞춘다.

7 부록: 수학적 고찰?

증명하지는 않았지만 모든 조각의 회전 상태의 합은 영이라는 규칙을 발견하게 된다. 위 두 줄을 다 맞춘 상태에서는 노란색 면의 위치로 회전 상태를 정의했지만 위 두 줄을 맞추지 않은 상태에서 조각들의 회전 상태를 어떻게 정의할지도 모르겠지만 그런 것 같다. 큐브를 조작하는 행위는 총 회전 상태를 보존하기 때문에 큐브가 맞춰질 수 있다. 만일 한 조각만 영이 아닌 회전 상태를 가지고 있다면 영원히 그 큐브는 맞출 수 없다. 물리적으로 뜯어서 재조립하지 않는 한.

마지막 맞추기에서 [ 1 0 0 0 ], [2 2 0 0]과 같은 상태는 어떻게 맞춰야 하는지 걱정했을 수도 있다. 하지만 이런 상태는 있을 수가 없기 때문에 걱정하지 않아도 된다. 위 그림에서 회전 상태를 모두 알아야 할 필요는 없다. 하지만 1-2번과 7-8번의 모서리 조각의 회전 상태 변화를 알고 있으면 어떤 동작으로 모서리 조각을 이동시킬지 결정하는 데 유용할 것이다. 십자가의 색깔이 일자로 나오는 게 큐브 조작을 더 적게 할 수 있기 때문이다.

8 부록: 흐트러뜨리고 다시 맞추기 다른 조합

왼쪽’-X와 오른쪽’-X를 사용한 조합을 생각해 보자.

9. 왼쪽’-90-아래180-왼쪽-180
10. 오른쪽’-90-아래180-오른쪽-180
11. 왼쪽’-180-아래180-왼쪽-90
12. 오른쪽’-180-아래180-오른쪽-90
13. 왼쪽-90-왼쪽’-180-아래180
14. 오른쪽-90-오른쪽’-180-아래180
15. 왼쪽-180-왼쪽’-90-아래180
16. 오른쪽-180-오른쪽’-90-아래180

11-12번은 9-10번의 역행이고 15-16번은 13-14번의 아래180 순서만 다른 역행이다. 그래서 바뀌는 조각이 원점 대칭이다. 모두 모서리 조각만 순환하고 코너 조각들은 제자리회전만 한다. 그리고 X, Y의 180 수에 따라 아래180이 나온다는 규칙도 여전히 유효하다. 프라임이 없는 건 앞에 나오고 프라임이 있는 건 뒤에 나온다. (왼쪽-180이나 오른쪽-180으로 시작하는 건 맨 뒤에 나오므로 앞과 뒤가 이어져 있다고 생각하면 이 규칙이 유지된다.)

1-16번까지 적용되는 규칙을 살펴 보면 모서리 조각의 순환은 동작을 무엇으로 시작했냐에 따라서 결정된다. 왼쪽-90이면 시계반대방향, 오른쪽-90이면 시계방향이다. 왼쪽-180은 시계방향, 오른쪽-180은 시계반대방향이다. 프라임 붙은 것도 프라임 안 붙은 것과 같다. 코너 조각은 반면에, 9-16번에서 순환하지 않지만 1-8번까지 왼쪽-X이면 시계방향, 오른쪽-X이면 시계반대방향이다.

왼쪽’-X와 왼쪽-Y가 연속되면 두 동작의 몇 개 요소가 대칭이 돼서 상쇄시킬 수 있다. 오른쪽’-X와 오른쪽-Y도 마찬가지이다. K 면의 왼쪽-X와 J 면의 오른쪽-Y도 한 요소가 대칭이 된다.

이 동작들을 추가적으로 이용해서 아래 줄 맞추기를 하면 맞추기 단계를 조금 머리가 덜 아프게 조정할 수 있다. (1) 1-8번으로 코너 조각들을 제자리로 이동시킨다. (2) 9-12번으로 십자가 색깔을 맞춘다. (3) 13-14번으로 모서리 조각들을 순환시켜서 제자리에 가게 한다. (4) 마지막 맞추기를 한다. 십자가 색깔을 맞출 때 모서리 조각이 다 맞춰지거나 하나만 맞춰지게 하는 것이 동작을 줄일 수 있다.

9 부록: 마지막 맞추기에 대한 고찰

마지막 맞추기는 마지막 맞추기 예에서 보인 바와 같이 대체로 왼쪽-90 또는 오른쪽-90 4번 모듬을 두 차례 하는 것으로 이루어진다. 상당히 많은 반복 동작을 해야 하므로 재미가 없고 지루하다. 13-16번을 이용할 수는 없을까?

4 개의 모서리 조각을 13-16번을 두 차례 또는 세 차례 써서 원래의 자리로 되돌릴 수 있다. 그러나 나올 수 있는 코너 조각의 회전 상태 경우를 두 차례나 세 차례로 모두 해결할 수 없는 것 같다. 코너 조각이 [1 2 0 0], [2 1 0 0] 이면 두 차례로 해결할 수 있고, [1 0 2 0], [1 1 1 0], [2 2 2 0]과 같은 것은 세 차례로 해결할 수 있다. 따라서 [1 2 1 2]와 [1 1 2 2]는 네 차례로 해결할 수 있다. 두뇌 회전이 빠르면 대칭되는 요소가 상쇄되므로 13-16번을 이용하는 것이 나을 수 있다.

코너 조각의 회전 상태 변화를 행렬로 표시하자. K 면이 위에 있게 아래 면을 바라 보았을 때, [[A B] [C D]] 행렬은 A, B로 위 조각들의 회전 상태 변화, C, D로는 아래 조각들의 회전 상태 변화를 나타낸다. 13-16번을 사용한 다양한 방법이 있겠지만 외우기 간편한 동작으로 회전 상태 변화를 만드는 동작을 적어 본다. 해당 행렬의 회전 상태를 해결하는 것이 아니라, 그 회전 상태 변화를 더하는 것임을 유의하자.

• [[1 0] [1 1]]: K-13-M-13-L-14 / K-[13]-[13]-L-14
• [[0 2] [2 2]]: K-14-M-14-J-13 / K-[14]-[14]-J-13
• [[2 0] [0 1]]: K-13-M-13-L-13′ / K-[13]-[13]-L-13′

M 면은 K면 맞은편 면이다. [13]과 [14]은 아래180이 없는 13번과 14번 동작이다. [13]이나 [14]가 연속되면 대칭되는 요소가 많아 동작을 많이 줄일 수 있다. 13’은 13번의 역행이다. 15번을 쓸 수도 있지만 일관성을 위해서 13’을 썼다. 13’은 아래180으로 시작한다.

13-16번 동작을 세 차례 하는 것은 모서리 조각을 순환시켜서 원래 상태로 만들기 위함인데 시계반대방향-시계반대방향-시계방향 또는 시계방향-시계방향-시계반대방향으로 순환시켜서 할 수 있다. 13은 시계반대방향이고, 14는 시계방향이고, 13’은 시계방향이다.

13-16번 동작을 두 차례와 네 차례 쓰는 것으로는 다음을 할 수 있다.

• [[0 0] [2 1]]: K-13-14
• [[0 0] [1 2]]: K-13′-14′
• [[1 2] [2 1]]:
  • K-13-14-M-13-14
  • K-13-[14]-14-[13]
  • K-[13]-아래180-[14]-[14]-아래180-[13]
• [[2 1] [2 1]]:
  • K-13-14-M-13′-14′
  • K-13-[14]-14′-13′-아래180
  • K-[13]-아래180-[14]-아래180-[14′]-아래180-[13′]-아래180
• [[1 1] [2 2]]:
  • K-13-M-14-K-14′-M-13′
  • K-[13]-[14]-14′-[13′]-아래180
  • K-[13]-[14]-아래180-[14′]-[13′]-아래180

[[2 1] [2 1]]과 [[1 1] [2 2]]는 큐브를 돌려 놓고 하면 같은 것이지만 모서리 조각의 순환을 원점으로 되돌리는 방식에서 차이가 있다.